Question

一道数学题 若函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax在（0,1]上的最大值为1/2,求a的值

Answer 1

1、
f(x)=lnx+ln(2-x)+x
f’(x)=1/x - 1/(2-x) + 1
令f(x)≥0,得：0＜x≤√2 或 x≥2
令f(x)＜0,得：√2 ＜ x ＜ 2
∴f(x)的单调递增区间为(0,√2]和[2,﹢∞) (这里不能用“∪”)
单调递减区间为(√2,2)
2、
f’(x)=1/x - 1/(2-x) + a
=1/x + 1/(x-2) + a
= [(x-2) + x + ax(x-2)] / [x(x-2)]
=[2(x-1) + ax(x-2)] / [x(x-2)]
∵x∈(0,1],a＞0
∴x-1≤0,x-2＜0
∴2(x-1) + ax(x-2)＜0
又∵x(x-2)＜0
∴[2(x-1) + ax(x-2)] / [x(x-2)] ＞0
即f’(x)＞0
∴f(x)在(0,1]上单调递增
∴最大值为f(1)=ln1 + ln(2-1)+a = 1/2
即a=1/2
希望采取,