Question

1．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD

(2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．

Answer 1

（1）∵∠BEC+∠ABD=∠ABD+∠DBC=90，∴，∠BEC=∠DBC，
又∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，即 ∠DBC=∠ADB=∠BEC。
又∵∠BAD=∠CBE=90°，AB=BC，于是△BAD≌△CBE，
∴AD=BE=AE，BD=CE。
于是可得△AED是等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCA=∠CAD=45°
∴AC是线段ED的垂直平分线（等腰三角形顶角的角平分线与底边上的高、中线重合）。
（2）由于AC垂直平分线段ED，则易证CE=CD，而BD=CE，所以BD=CD，
即△DBC是等腰三角形。