Question

4.数列{an}中,Sn是{an}的前n项和 an=2-2Sn, 证明: {Sn-1} 成等比数列？

Answer 1

首先，根据题目中的条件可得：

Sn = a1 + a2 + ... + an = 2-2Sn + 2-2Sn + ... + 2-2Sn (共n项)

可以化简得到：

Sn = n ⋅ 2 - 2Sn

移项得到：

Sn = n/3 ⋅ 2

因此，

Sn-1 = (n-1)/3 ⋅ 2

接下来我们要证明 {Sn-1} 构成等比数列，即 Sn-1 / Sn-2 = Sn-2 / Sn-3。

将 Sn-1 和 Sn-2 带入上面的公式，得到：

Sn-1 / Sn-2 = [(n-1)/3]⋅2 / [(n-2)/3]⋅2
= (n-1)/(n-2)

将 Sn-2 和 Sn-3 带入上面的公式，得到：

Sn-2 / Sn-3 = (n-2)/(n-3)

因此，要证明 Sn-1 / Sn-2 = Sn-2 / Sn-3，只需证明：

(n-1)/(n-2) = (n-2)/(n-3)

经过变形可得：

n^2 - 4n + 4 = 0

这是一个二次方程，解得 n=2 或 n=2，因此 {Sn-1} 可以构成等比数列。

综上，我们证明了数列 {Sn} 中的每一项都可以用 n 表示，且 {Sn-1} 构成等比数列。

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