Question

已知函数f(x)＝2的x次方+1/2的x次方－1.求此函数值域(2)判断此函数单调性

Answer 1

用2^x表示2的x次方
y=[2^x＋1]/[2^x－1] 【设：2^x=t，则：t>0】
y=(t＋1)/(t－1)
yt－y=t＋1
(y－1)t=y＋1
t=(y＋1)/(y－1)
因为：t>0，则：(y＋1)/(y－1)>0，得：y>1或y<－1

y=[2^x＋1]/[2^x－1]=[(2^x－1)＋2]/[2^x－1]=1＋2/[2^x－1]
函数在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减。

Answer 2

f'(x)=(2^x)ln2-[(1/2)^x]ln2=[2^x-(1/2)^x]ln2=(2^x-2^-x)ln2
当x>0时，2^x-2^-x>0，∴（0，+∞）递增；
当x<0时，2^x-2^-x<0，∴（-∞，0）递减。
∴x=0时，取得最小值，最小值为f(0)=1+1-1=1，∴值域为[1，+∞）