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(y^2-3x^2)dy-2xydx=0在x=0,y=1下的特解
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分组得:y^2dy-(3x^2dy+2xydx)=0
注意到3x^2dy前面的3应该由y^3求导而来,故乘以y^2得:
y^4dy-(3x^2y^2dy+2xy^3dx)=0,或:y^4dy-d(x^2y^3)=0
通解为:y^5/5-x^2y^3=C
将x=0,y=1代入得:C=1/5
所求特解为:y^5-5x^2y^3=1
这种方法很少有人想到的。
注意到3x^2dy前面的3应该由y^3求导而来,故乘以y^2得:
y^4dy-(3x^2y^2dy+2xy^3dx)=0,或:y^4dy-d(x^2y^3)=0
通解为:y^5/5-x^2y^3=C
将x=0,y=1代入得:C=1/5
所求特解为:y^5-5x^2y^3=1
这种方法很少有人想到的。
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(y^2-3x^2)/(2xy)=dx/dy,
dx/dy=(y/x)/2-(3/2)(x/y),(1)
设v=x/y, x=vy,
dx/dy=1/(2v)-3v/2,(2)
dx/dy=v+ydv/dy,(3)
对比(2)式和(3)式,
1/(2v)-3v/2=v+ydv/dy,
2vdv/(1-5v^2)=dy/y,
-(1/5)∫d(1-5v^2)/(1-5v^2)=∫dy/y,
y=C(1-5v^2)^(-1/5),
y=C[1-5(x/y)^2]^(-1/5),
当x=0时,y=1,代入,
1=C(1-0)^(-1/5),
C=1,
∴特解为:y=[1-5(x/y)^2]^(-1/5),
y^5-5x^2y^3=1.
dx/dy=(y/x)/2-(3/2)(x/y),(1)
设v=x/y, x=vy,
dx/dy=1/(2v)-3v/2,(2)
dx/dy=v+ydv/dy,(3)
对比(2)式和(3)式,
1/(2v)-3v/2=v+ydv/dy,
2vdv/(1-5v^2)=dy/y,
-(1/5)∫d(1-5v^2)/(1-5v^2)=∫dy/y,
y=C(1-5v^2)^(-1/5),
y=C[1-5(x/y)^2]^(-1/5),
当x=0时,y=1,代入,
1=C(1-0)^(-1/5),
C=1,
∴特解为:y=[1-5(x/y)^2]^(-1/5),
y^5-5x^2y^3=1.
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