Question

求极限：lim(x->0)(2x*cos2x-sin2x)/2x^3,

我是这样考虑的：
分母，分子同时除以2x
=>lim(x->0)（cos2x-sin2x/2x）/x^2,
'.' lim(x->0)sin2x/2x=1
.'. 上式 =lim(x->0)(cox2x-1)/x^2
=>lim(x->0)(1/2)*4x^2/x^2=2
我想问一下这样做哪里错了?还有什么时候可以用无穷小因子替换，或者可以直接用两个重要极限代进去，书上说，在加减法中等价无穷小替换是有条件的，我想问一下在什么情况下加减法中能用无穷小因子替换？

Answer 1

"在加减法中等价无穷小替换是有条件的"这个条件就是加减运算的两部分极限是存在的
像上式中
lim(x->0)（cos2x-sin2x/2x）/x^2,
这一步时
其实是计算
lim(x->0)（cos2x/x^2-sin2x/2x/x^2)
如果cos2x/x^2部分和sin2x/2x/x^2部分的极限都存在，那么就可以使用等价无穷小代换
（理论依据就是极限加减的条件了lim(a+b)=lima+limb前提是lima和limb都存在。）
显然x->0时这两部分极限都是∞，不存在的，所以这里不能用无穷小代换
一般情况下，如果把分子上的加减拆开得到的结果都会是∞，所以一般统一说加减法的时候不能用等价无穷小代换

Answer 2

完全错误的
等价无穷小代换只能用到连乘或连除的情况。加减不适合用。

追问

那我用lim(x->0)sin2x/2x=1代进去为什么不可以？

追答

cos2x-sin2x/2x这两者是减法关系，怎么能用等价无穷小代换呢？