Question

设随机变量X~N(μ,σ^2),Y=e^x,则Y的分布密度函数为？详细

Answer 1

凡是这种题都是先求分布函数，也就是Y≤y的概率，再对y求导得到分布密度。由于Y与X关系已经告诉，所以Y≤y的概率可以通过X的分布求出来。
具体做法如下。
P(Y≤y)=P(e^X≤y)=P(X≤lny)=∅*(lny)
（∅*是正态分布N(μ,σ^2)的分布函数，∅*(lny)=∫(-∞到lny)N(μ,σ^2)dx）
于是y的分布f(y)=∅*(lny)'由复合函数的求导法则，得到
f(y)=∅*'(lny)×(lny)'=N(μ,σ^2)|x=lny ×1/y
就是把原来N(μ,σ^2)的表达式里面的x换成lny，再乘1/y。