Question

如图△ABC中,BD=DC,AD平分∠BAC,DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AB=AC.

Answer 1

∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC
∴DE=DF（角平分线定理）；∠DEB=∠DFC=90°
又DB=DC，
∴△BDE≌△CDF
∴∠B=∠C
∴AB=AC
其实还有个角平分线定理2，一步到位：
在△ABC中，∵AD平分∠BAC
∴BD:CD=BA:AC
又BD=CD
∴BA=AC

Answer 2

∵AD平分∠BAC,DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵BD=CD，
∴S△ABD=S△ACD(等底等高)
即1/2AB*DE=1/2AC*DF
∴AB=AC

Answer 3

利用等腰三角形三线合一性质可以做，只要证明AD⊥BC就行
这里我用全等三角形做：
DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，AD=AD
可以AAS证明△ADE≌△ADF
就有AE=AF
同样的可以证明△BDE≌△CDF
那么就有BE=CF
从而AB=AC

Answer 4

∵DE⊥AB
DF⊥AC
AD平分∠BAC
AD为公共边
所以RT△ADE≌RT△ADF
∴AE=AF
同理BE=CF
∴AB=AC

Answer 5

因为垂直和角平分线，所以df=de，再用hl证dbe全等于dcf所以角b=角c所以ab=ac

Answer 6

在△AED 和 △AFD 中，
DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，AD=AD
△AED 和 △AFD 全等；-------AAS
AE= AF; DE= DF
又在△BED 和 △CFD 中
DE=DF; BD= CD
△BED 和 △CFD 全等;--------HL
BE=CF,又AE= AF
AB=AC

Answer 7

证明：
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
BD =DC
AD是公共边
∴△ABD≌△acd（AAS)
∴ab=ac