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一道高中数学题,在线等!
已知函数y=x^3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,则c=________答案-2或2求过程!...
已知函数y=x^3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,则c= ________
答案-2或2
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已知函数y=x³-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,则c= 2或-2。
解:y′=3x²-3=3(x+1)(x-1)
当x≦-1或x≧1时y′≧0,即在区间(-∞,-1]∪[1,+∞)内y单调增;当-1≦x≦1时,y′≦0,即在
区间[-1,1]内函数y单调减。因此x=-1是其极大点,x=1是其极小点。Ymax=y(-1)=2+c;Ymin
=y(1)=-2+c。
函数的图像恰与x轴有两个交点,因此可能有两种情况:
(一).Ymax=2+c=0,此时c=-2.于是y=x³-3x-2=x²(x+1)-x(x+1)-2(x+1)=(x+1)(x²-x-2)
=(x+1)(x+1)(x-2)=(x+1)²(x-2).即函数的图像与x轴的交点为x₁=-1,x₂=2.
(二).Ymin=-2+c=0,此时c=2.于是y=x³-3x+2=x²(x-1)+x(x-1)-2(x-1)=(x-1)(x²+x-2)
=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)²(x+2).即函数的图像与x轴的交点为x₁=1; x₂=-2.
解:y′=3x²-3=3(x+1)(x-1)
当x≦-1或x≧1时y′≧0,即在区间(-∞,-1]∪[1,+∞)内y单调增;当-1≦x≦1时,y′≦0,即在
区间[-1,1]内函数y单调减。因此x=-1是其极大点,x=1是其极小点。Ymax=y(-1)=2+c;Ymin
=y(1)=-2+c。
函数的图像恰与x轴有两个交点,因此可能有两种情况:
(一).Ymax=2+c=0,此时c=-2.于是y=x³-3x-2=x²(x+1)-x(x+1)-2(x+1)=(x+1)(x²-x-2)
=(x+1)(x+1)(x-2)=(x+1)²(x-2).即函数的图像与x轴的交点为x₁=-1,x₂=2.
(二).Ymin=-2+c=0,此时c=2.于是y=x³-3x+2=x²(x-1)+x(x-1)-2(x-1)=(x-1)(x²+x-2)
=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)²(x+2).即函数的图像与x轴的交点为x₁=1; x₂=-2.
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由题意可得
x^3-3x+c=0 (1) 有两个解
则上式可以化为(x-a)^2(x-b)=0 (2)的形式
而(2)式展开为x^3-(b+2a)x^2+(a^2+2ab)x-a^2b=0 (3)
(1)(2)两式的对应系数是相等的
所以2a+b=0,a^2+2ab=-3,a^2b=c
由以上三式可得
c=b=-2a=-2或2
x^3-3x+c=0 (1) 有两个解
则上式可以化为(x-a)^2(x-b)=0 (2)的形式
而(2)式展开为x^3-(b+2a)x^2+(a^2+2ab)x-a^2b=0 (3)
(1)(2)两式的对应系数是相等的
所以2a+b=0,a^2+2ab=-3,a^2b=c
由以上三式可得
c=b=-2a=-2或2
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y'=3x^2-3 y'=0 3x^2-3=0 x^2-1=0 x=1 x=-1
函数y=x^3-3x+c在(- ∞,-1)上单调递增 在(- 1,1)上单调递减,在(-1,∞,)上单调递增 函数y=x^3-3x+c的极大值2+c 极大值-2+c
若使y=x^3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点 则2+c=0或 -2+c=0解得c=-2或 c=2.
函数y=x^3-3x+c在(- ∞,-1)上单调递增 在(- 1,1)上单调递减,在(-1,∞,)上单调递增 函数y=x^3-3x+c的极大值2+c 极大值-2+c
若使y=x^3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点 则2+c=0或 -2+c=0解得c=-2或 c=2.
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即极小值点在x轴上,求导y`=3x^2-3,令y`=0 解得x=1或-1,代入原函数,即-2+c=0或2+c=0
c为-2或2
c为-2或2
追问
极小值在x轴上,所以-2+c=0
那为什么极大值也在x轴上 :2+c=0 ?
追答
是极小值在x轴上,或极大值在x轴上
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