Question

一道高中数学题，在线等！

已知函数y=x^3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点，则c= ________
答案-2或2
求过程！

Answer 1

y=x^3-3x+c

y'=3x^2-3

令y'=0

3x^2-3=0

x=±1

y'=6x

x=1  y''>0  y极小值=-2+c

x=-1 y''<0  y极大值=2+c

有两个公共点

y最小值=-2+c=0  c=2

y极大值=2+c=0  c=-2

 

Answer 2

已知函数y=x³-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点，则c= 2或-2。
解：y′=3x²-3=3(x+1)(x-1)
当x≦-1或x≧1时y′≧0,即在区间(-∞,-1]∪[1，+∞)内y单调增；当-1≦x≦1时，y′≦0,即在
区间[-1，1]内函数y单调减。因此x=-1是其极大点，x=1是其极小点。Ymax=y(-1)=2+c；Ymin
=y(1)=-2+c。
函数的图像恰与x轴有两个交点，因此可能有两种情况：
(一).Ymax=2+c=0，此时c=-2.于是y=x³-3x-2=x²(x+1)-x(x+1)-2(x+1)=(x+1)(x²-x-2)
=(x+1)(x+1)(x-2)=(x+1)²(x-2).即函数的图像与x轴的交点为x₁=-1，x₂=2.
(二).Ymin=-2+c=0，此时c=2.于是y=x³-3x+2=x²(x-1)+x(x-1)-2(x-1)=(x-1)(x²+x-2)
=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)²(x+2).即函数的图像与x轴的交点为x₁=1； x₂=-2.

Answer 3

由题意可得
x^3-3x+c=0 (1) 有两个解
则上式可以化为(x-a)^2(x-b)=0 （2）的形式
而（2）式展开为x^3-(b+2a)x^2+(a^2+2ab)x-a^2b=0 (3)
(1)(2)两式的对应系数是相等的
所以2a+b=0，a^2+2ab=-3，a^2b=c
由以上三式可得
c=b=-2a=-2或2

Answer 4

y'=3x^2-3 y'=0 3x^2-3=0 x^2-1=0 x=1 x=-1
函数y=x^3-3x+c在（- ∞，-1）上单调递增 在（- 1，1）上单调递减，在（-1，∞，）上单调递增 函数y=x^3-3x+c的极大值2+c 极大值-2+c
若使y=x^3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点 则2+c=0或 -2+c=0解得c=-2或 c=2.

Answer 5

即极小值点在x轴上，求导y`=3x^2-3,令y`=0 解得x=1或-1，代入原函数，即-2+c=0或2+c=0
c为-2或2

追问

极小值在x轴上，所以-2+c=0
那为什么极大值也在x轴上 ：2+c=0 ？

追答

是极小值在x轴上，或极大值在x轴上