Question

如果不等式mx2+(m+1)x+m+1<0无解,求实数m的取值范围。初高中衔接上的题，实在不会。求解！

Answer 1

讨论 m的值
（1）若m=0 则方程为 x+1<0 ，方程有解，不符合题意
（2) 若m不等于0，则为一个一元二次方程，欲使他小于0时无解，也即让他的最小值都≥0
也即：m>0 ,且4ac-b^2/4a =4m(m+1)-(m+1)^2/4m ≥0 解得m大于等于1/3

Answer 2

mx^2+(m+1)x+m+1<0
当m>0时，图像是开口向上，小于0，即图像在第四象限，无解即与x轴没有交点
所以判别式△<0 ,则（m+1）^2-4m(m+1)=m^2+2m+1-4m^2-4m=-3m^2-2m+1=-3(m^2+4/3X2m+16/9)+16/3+1=-3(m+4/3)^2+19/3<0
即（m+4/3）^2>19/9
(m+4/3)>根号19/3或m+4/3<-根号19/3（结合条件m>0，不合题意舍去）
即m>(根号19-4)/3
当m=0时，即不等式为x+1<0 永远有解为x<-1
当m<0时，图像是开口向下，小于0，即图像在第四象限，无解即与x轴没有交点
所以判别式△<0 ,
则（m+1）^2-4m(m+1)=m^2+2m+1-4m^2-4m=-3m^2-2m+1=-3(m^2+4/3X2m+16/9)+16/3+1=-3(m+4/3)^2+19/3<0
即（m+4/3）^2>19/9

m+4/3<-根号19/3或m+4/3>根号19/3（结合条件m<0，不合题意舍去）
即m<(-根号19-4)/3

Answer 3

解：
分两种情况
（1）若m=0 则方程为 x+1<0 ，方程有解，不符合题意
（2) m≠0，则为一个一元二次方程，
mx2+(m+1)x+m+1<0无解, 考察对应的抛物线必须开口向下，且与x轴无交点或只有一个交点，即m>0 ,且(m+1)^2-4m(m+1)≤0 解得m≥1/3
综上m≥1/3

Answer 4

有题可知
mx2+(m+1)x+m+1大于、等于0有解的m的取值范围了。
整理可得：（m+1)x+3m+1大于、等于0
这里要运用到分类讨论思想了。
当x=0时，求m的范围。
当x小于0时，求m的范围。
当x大于0时，求m的范围。
最后要回去检查一下。

Answer 5

当m不等于0时，这是一个关于X的二次函数。要使这个式子小于0无解的话，则这个二次函数图象必须开口向上，且最小值大于等于0.即有m大于0且（m+1)^2-4m*(m+1)<=0;得m>1/3.当m=0时，这是一个一次函数，不满足题意。综上所述m>1/3。