设，α1 α2 α3 α4 是四维向量，且线性无关，证明β1=α1+α2 β2=α2+α3 β3=α3+α4 β4=α4+α1... 30
设，α1α2α3α4是四维向量，且线性无关，证明β1=α1+α2β2=α2+α3β3=α3+α4β4=α4+α1线性相关...
设，α1 α2 α3 α4 是四维向量，且线性无关，证明β1=α1+α2 β2=α2+α3 β3=α3+α4 β4=α4+α1线性相关
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很简单的
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假设β1、β2、β3、β4线性相关，则存在k1、k2、k3、k4不全为0使得
k1* β1+ k2* β2 +k3* β3 +k4*β4=0
则(k1+k4)* α1 +(k1+k2)* α2 +(k2+k3)* α3 +(k3+k4)* α4=0
又因为k1、k2、k3、k4不全为0，所以(k1+k4)、(k1+k2)、(k2+k3)、(k3+k4)不全为0，所以α1 α2 α3 α4线性相关，与假设矛盾，所以β1=α1+α2 β2=α2+α3 β3=α3+α4 β4=α4+α1线性无关
k1* β1+ k2* β2 +k3* β3 +k4*β4=0
则(k1+k4)* α1 +(k1+k2)* α2 +(k2+k3)* α3 +(k3+k4)* α4=0
又因为k1、k2、k3、k4不全为0，所以(k1+k4)、(k1+k2)、(k2+k3)、(k3+k4)不全为0，所以α1 α2 α3 α4线性相关，与假设矛盾，所以β1=α1+α2 β2=α2+α3 β3=α3+α4 β4=α4+α1线性无关
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β4=α4+α1=α1+α2+α3+α4-(α2+α3)=β1+β3-β2
所以
线性相关
所以
线性相关
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