Question

设函数f(x)=x^2+(2a+1)x+a^2+3a

设函数f(x)=x^2+(2a+1)x+a^2+3a （a属于R）

若f(x)在闭区间【α，β】（α<β）上是增函数，且｛y|y=f(x)，α≤x≤β｝=【α，β】，求a的取值范围

Answer 1

因为是增函数，所以f(α)=α，f(β)=β，即f(x)=x有两不等实根
方程f(x)=x可化为，x^2+2ax+a^2+3a=0
△=4a^2-4a^2-12a>0,解得a<0
又因为是增函数，所以α，β均在f(x)对称轴右侧，即都大于-（2a+1）/2，
结合g(x)=x^2+2ax+a^2+3a特征图知
这时满足g(-（2a+1）/2)大于等于0,且对称轴在-（2a+1）/2右侧（恒成立，因对称轴为-a）
g(-（2a+1）/2)≥0解得a≥-1/12
综上0>a≥-1/12

Answer 2

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