△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且sinC/2+cosC/2=√2,若a,b,c成等比数列求sinA的值
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解：∵sinC/2+cosC/2=√2 即√2sin(C/2+π/4)=√2
∴sin(C/2+π/4)=1,
∵0<C<π.
∴C/2+π/4=π/2 即C=π/2.
∴根据勾股定理有 c^2=a^2+b^2
即(c/a)^2=1+(b/a)^2
又a,b,c成等比数列
∴b^2=ac 即(b/a)^2=c/a 代入上式
(c/a)^2=1+c/a
解得c/a=(1+√5)/2
根据正弦定理
c/a=sinC/sinA
∴sinA=sinC*a/c=1*2/(1+√5)=(√5-1)/2
∴sin(C/2+π/4)=1,
∵0<C<π.
∴C/2+π/4=π/2 即C=π/2.
∴根据勾股定理有 c^2=a^2+b^2
即(c/a)^2=1+(b/a)^2
又a,b,c成等比数列
∴b^2=ac 即(b/a)^2=c/a 代入上式
(c/a)^2=1+c/a
解得c/a=(1+√5)/2
根据正弦定理
c/a=sinC/sinA
∴sinA=sinC*a/c=1*2/(1+√5)=(√5-1)/2
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