Question

火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现计划用50节A、B两种型号的车厢将这批货物运往北京

已知每节A型车厢的运费是0.5万元，每节B型车厢的运费是0.8万元。甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型车厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型车厢。按此要求安排A、B两种车厢的节数，共有几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少。

Answer 1

解：设A型货厢的节数为x，则B型货厢的节数为（50-x）节．
35x+25(50-x)≥153015x+35(50-x)≥1150，
解得：28≤x≤30．
∵x为正整数，
∴x可为28，29，30．
∴方案为①A型货厢28节，B型货厢22节；
②A型货厢29节，B型货厢21节；
③A型货厢30节，B型货厢20节；
总运费为：0.5x+0.8×（50-x）=-0.3x+40，
∵-0.3＜0，
∴x越大，总运费越小，
∴x=30，
最低运费为：-0.3×30+40=31万元．
答：A型货厢30节，B型货厢20节运费最少，最少运费是31万元．

Answer 2

解：(Ⅰ)设安排A型车厢x节，B型车厢y节，总运费为z万元.则由题意可得
约束条件为
目标函数为 .
作出二元一次不等式组所表示的可行域，
如图所示。设直线 ：x+y=50、
：7x+5y=306、 ：3x+7y=230.
解方程组可得 与 的交点A的坐标；
与 的交点C的坐标。

根据图象可知：28≤x≤30, 20≤y≤22,x,y∈N,且x+y=50.
于是安排A、B两种型号的车厢的节数的所有可能方案为：
方案1：安排A型车厢28节，B型车厢22节；
方案2：安排A型车厢29节，B型车厢21节；
方案3：安排A型车厢30节，B型车厢20节。
(Ⅱ)考虑目标函数为 ，将它变形为 ，由图可见，当直线 经过可行域（线段AC）上的点C时，截距 最小，即z最小。z=0.5×30+0.8×20=31（万元） 即方案3：安排A型车厢30节，B型车厢20节，最少的运费为31万元。

Answer 3

设需要甲车厢x节，乙车厢y节，则(35+15)x+(25+36)y=1530+1150，化简可得：5x+6y=268，符合这个方程的整数解有
x=50,y=3,费用为27.4
x=44,y=8，费用为28.4
x=38,y=13，费用为29.4
x=32,y=18，费用为30.4
x=26,y=23，费用为31.4
x=20,y=28，费用为32.4
x=14,y=33，费用为33.4
x=8,y=38，费用为34.4
x=2,y=43，费用为35.4
所以一共有9种方案，以x=50,y=3,费用为27.4运费最少