Question

四边形ABCD为正方形，QA垂直于平面ABCD，PD平行于QA，QA=AB=1/2PD，求二面角Q-BP-C的余弦值

是这个图，但没有坐标轴，不用向量做。 谢谢

Answer 1

 

 取坐标系D﹙0,0,0﹚,A﹙1,0,0﹚,  P﹙0,2,0﹚,C﹙0,0,1﹚ 则B﹙1,0,1﹚

E﹙1/2,1,1/2﹚是BP中点，∵BQ＝PQ＝√2 ,∴QE⊥PB﹙三合一﹚

过E作BE的垂直平面交CP于F,不难计算F﹙0,4/5,3/5﹚

则 ∠QEF为所求二面角的平面角，EF＝√﹙3/10﹚ EG＝1/√2   FQ＝√35/5

从余弦定理 cos∠QEF＝-2/√15,[二面角Q-BP-C的余弦值]

Answer 2

解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz
（1）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）
则
所以
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC
故PQ⊥平面DCQ
又PQ平面PQC，
所以平面PQC⊥平面DCQ。
（2）依题意有B（1，0，1），
设是平面PBC的法向量，则
即
因此可取
设m是平面PBQ的法向量，则
可取
所以
故二面角Q-BP-C的余弦值为-。