Question

数列{an}满足递推式an=3a(n-1)+3^n-1(n>=2)，且a1=5，

1、若存在实数λ使{(an+λ)/3^n}为等差数列，求λ的值以及{an}的通项公式
2、求{an}的前n项的和Sn

Answer 1

1.设（an+λ）/3^n=[a(n-1)/3^(n-1)]+d
化简后得d=1，λ=-1/2
故(an-1/2)/3^n=n+1/2
an=(n+1/2)*3^n+1/2（n大于等于2）
an=5（n等于1）

2.sn-n/2=(1+1/2)*3^1+(2+1/2)*3^2+......+(n+1/2)*3^n
3(sn-n/2)=(1+1/2)*3^2+(2+1/2)*3^3+......+(n-1+1/2)*3^n+(n+1/2)*3^(n+1)
相减得-2（sn-n/2)=-n*3^(n+1)
sn=n[3^(n+1)+1]/2
此题运用的是错位相减得方法 一般使用于an=一个等比数列乘以一个等差数列

Answer 2

1.设（an+λ）/3^n=[a(n-1)/3^(n-1)]+d
化简后对比系数得d=1，λ=-1/2
所以(an-1/2)/3^n=n+1/2
an=(n+1/2)*3^n+1/2

2.sn-n/2=(1+1/2)*3^1+(2+1/2)*3^2+......+(n+1/2)*3^n
3(sn-n/2)=(1+1/2)*3^2+(2+1/2)*3^3+......+(n-1+1/2)*3^n+(n+1/2)*3^(n+1)
两式相减得-2（sn-n/2)=-n*3^(n+1)
sn=n[3^(n+1)+1]/2

Answer 3

an=3a(n-1)+3^n-1(n>=2)，则an+1=3an+3^n, (an+1+λ)/3^(n+1)-(an+λ)/3^n=(-6a*n+9a-2λ)/3^(n+1)为常数，则分母只能为零，所以a=0,λ=0

2.an=3^(n-1)(n>=2) sn=5+3(1-3^(n-1))/(1-3)=7/2+3^n/2(注意首项为5）