Question

求两道奥数题

一名收藏家拥有M块宝石，如果他拿走最重的3块宝石，那么宝石的总重量会减少35％，如果他从余下的宝石中拿走最轻的3块，那么余下宝石的重量会再减少5/13，则M=（）

正整数N使得（191919+N）×（191919+N）除以19的余数是6，那么N除以19的余数是（）

要有详解
O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

1.这名收藏家总共应有 10 块宝石
设宝石总重为 1
三块最重的重0.35, 平均每块重 0.107
三块最轻的重(1-0.35)*(5/13)=0.25, 平均每块重 0.083
则剩下的共重1-0.35-0.25=0.40
若剩3块，则每块重0.40/3=0.133>0.107,所以剩下的多于3块；
若剩5块，则每块重0.40/5=0.080<0.083,所以剩下的少于5块；
所以剩下的只能是4块
加最大3块，最小3块，共10块

2.因为n^2-6的尾数只有六种:0,3,4,5,8,9; 所以在18以内只须检验9个:3,4,5,8,9,10,13,14,15
得知余数为5或14

Answer 2

解：设最重的重为m，最轻的重为n
∴所有的平均重量为（m+n）/2
∴总重为M（m+n）/2
∴3m=35%×M（m+n）/2
3n=65%×5/13×M（m+n）/2
∴m/n=7/5
∴设m=7k，n=5k
∴3×7k=35%×M（7k+5k）/2
∴M=10

Answer 3

（1）m=10,最重3块35%，中间的k块占（1-35%）（1-5/13）=40%，最轻3块为（1-35%）（5/13）=25%，40%>35%，说明k>3，40%<25%*2=50%，说明k<6，假设k=5时，（40%/5）<(25%/3)，不成立，所以k=4
（2）（191919+N）×（191919+N）=191919^2+2N*191919+N^2除以19的余数为6，说明是N^2除以19的余数为6，那么N除以19的余数也为6.