Question

已知函数f(x)=sinx2x,g(x)=cos2x,直线x=t与函数f(x),g(x)的图像分别交于M,N两点(1)当t=π/4时 |MN|=?

(2)求|MN|在t属于[0,π/2]时的最大值
（3）求函数h(x)=|MN|,求函数h(t)的单调区间，图像的对称中心和对称轴

Answer 1

（1）先根据题意表示出|MN|进而利用诱导公式化简，利用余弦函数的性质求得答案．
（2）表示出|MN|的表达式，利用两角和公式对表达式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值．

解

本题主要考查了两角和公式和诱导公式化简求值，三角函数的最值问题等．注重了对数学基础知识的考查和基本的推理能力，计算能力的运用．
（1）将t=
π4代入函数f（x）、g（x）中得到
∵|MN|=|f(
π4)-g(
π4)|=|sin(2×
π4)-cos(2×
π4+
π6)|
=|1-cos
2π3|=
32.
（2）∵|MN|=|f(t)-g(t)|=|sin2t-cos(2t+
π6)|
=|
32sin2t-
32cos2t|
=3|sin(2t-
π6)|
∵t∈[0，
π2]， 2t-
π6∈[-
π6，π-
π6]，
∴|MN|的最大值为3

Answer 2

解：（1）、f(π/4)=sinπ/2=1,g(π/4)=0,所以M(π/4,1),N(π/4,0),所以根据两点间的距离公式|MN|=1
（2）、由题意得M(t,sin2t),N(t,cos2t)则|MN|=根号下(sin2t-cos2t)平方=根号下（1-sin4t)
因为t属于[0,π/2]则4t属于[0,2π]则sin4t属于[-1,1]，所以（1-sin4t)属于[0,2]
所以|MN|在t属于[0,π/2]时的最大值为2
（3）由（2）可知h(x)=根号下（1-sin4X)所以当-π/2+2Kπ<4X<π/2+2Kπ（K属于Z)，即
-π/8+1/2Kπ<X<π/8+1/2Kπ（K属于Z)时，为减函数
当 π/2+2Kπ≤4x≤3π/2+2Kπ（K属于Z）即π/8+1/2Kπ≤X≤3π/8+1/2Kπ）（K属于Z）时，为增函数
函数h(X)的单调递增区间为[π/8+1/2Kπ,3π/8+1/2Kπ]（K属于Z）
函数h(X)的单调递减区间（-π/8+1/2Kπ，π/8+1/2Kπ）（K属于Z）
令4X=π/2+Kπ，（K属于Z）得到X=π/8+1/4Kπ
令4X=π+Kπ，（K属于Z）得到X=π/4+1/4Kπ
所以图像的对称中心为（π/4+1/4Kπ，0）（K属于Z），对称轴为X=π/8+1/4Kπ（K属于Z）

Answer 3

（1） |MN|=1将X=π/4代入f(x)=sin2x,g(x)=cos2x中并将两值相减求其绝对值就是所求值
（2）f(x)-g(x)=根号2倍sin(2x-π/4)当t属于[0,π/2]时即X属于[0,π/2]时，2x-π/4属于[-π/4，3π/4]，sin(2x-π/4)属于[-0.5,1]所以|MN|最大值为根号2
好难打不想打了，你就按照第二问的函数做法参考下第三问的函数为f(x)-g(x)=根号2倍sin(2x-π/4)，你在结合必修4看下