Question

线性规划中不等式 已知-1＜a+b＜3且2＜a-b＜4，求2a+3b的取值范围．

答案是设2a+3b=λ（a+b）+μ（a-b），解出μ、λ后算出结果的。但为什么不能直接不等式相加算出a的范围后算出b的范围，再直接加呢？

Answer 1

根据原有不等式，得到a与b的范围是正确的，即1/2<a<7/2，-5/2<b<1/2

问题在于当a>1/2且a无限接近1/2时，b并不是无限接近-5/2，而是-3/2

同样，当a<7/2且a无限接近7/2时，b并不是无限接近1/2，而是-1/2

 

为说明方便，不妨在原不等式中添加等号，变为-1≤a+b≤3且2≤a-b≤4

此时，1/2≤a≤7/2，-5/2≤b≤1/2

之前的解释改为：

当a=1/2时，b≠-5/2，而是b=-3/2

当a=7/2时，b≠1/2，而是b=-1/2

 

这是因为，当a=1/2时，由-1≤a+b≤3得-3/2≤b≤5/2   ①

同时，由2≤a-b≤4得-7/2≤b≤-3/2   ②

联合①②，只有b= -3/2

用类似的方法可以求得当a=7/2时，只有b= -1/2

因此，若单纯的按a,b的范围计算2*a+3*b，将会导致范围变大．

 

本问题直观的表示就是原不等式组解的区域（可行域）在a-b平面是一个矩形，如图

令C₁≤2*a+3*b≤C₂，则-2/3*a+ C₁/3≤b≤-2/3*a+ C₂/3

即要找出直线b=-2/3*a+C在可行域内截距C的最小值C₁/3与最大值C₂/3．

分别过P,Q两点作直线b=-2/3*a+ C₁/3与b=-2/3*a+ C₂/3

则-2/3*3/2 +C₁/3=-5/2，-2/3*5/2+ C₂/3=1/2

可求得C₁=-9/2，C₂=13/2

原题目的答案为换元法，u=a+b，v=a-b，相对比较简单．

Answer 2

可以的，如下：
∵-1＜a+b＜3且2＜a-b＜4
∴1<2a<7 ①
∵-1＜a+b＜3且-4＜-a+b＜-2
∴-5<2b<1
-15/2<3b<3/2 ②
①+②得-13/2<2a+3b<17/2

教授就是把简单的问题变为复杂的问题。

追问

刚开始我也这样做，不过答案是-9/2＜2a+3b＜13/2，而且还强调了不能像这样做