Question

如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）求证

如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠B=30°，⊙O的半径为6，求线段AD的长．

Answer 1

解答：（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
又∵∠C=90°，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．

（2）在Rt△BDO中，∠ODB=90°，∠B=30°，OD=6，
∴BO=2OD=12，
∴AB=12+6=18，
∴AC=

1

2

AB=9，
由勾股定理得：BD=

122?62

=6

3

，BC=

182?92

=9

3

，
∴DC=9

3

-6

3

=3

3

，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=

AC2+DC2

=

92+(3 3 )2

=6

3

．