Question

过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组

过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径 、 。一个质量为 kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以 的初速度沿轨道向右运动，A、B间距 m。小球与水平轨道间的动摩擦因数 ，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取 ，计算结果保留小数点后一位数字。试求 （1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小； （2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少； （3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径 应满足的条件；小球最终停留点与起点的距离。





Answer 1

解：（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v 1 ，根据动能定理  ① 小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律  ② 由①②得 ③ （2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v 2 ，由题意  ④  ⑤ 由④⑤得 ⑥ （3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论： I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v 3 ，应满足  ⑦  ⑧ 由⑥⑦⑧得 II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R 3 ，根据动能定理 解得 为了保证圆轨道不重叠，R 3 最大值应满足 解得R 3 =27.9m 综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件 或 当 时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则 当 时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则