Question

已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=3，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（π4）=0，f（x）=15（0

已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=3，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（π4）=0，f（x）=15（0＜x＜π），求tanx的值．

Answer 1

（1）a=

3

时，
f（x）=sinx+

3

cosx
=2sin（x+

π

3

），…（2分）
当sin（x+

π

3

）=1，
即x+

π

3

=

π

2

+2kπ（k∈Z），
∴x=

π

6

+2kπ（k∈Z）时，
f（x）有最大值2； …（6分）
（2）∵f（

π

4

）=sin

π

4

+acos

π

4

=

2

2

+

2

2

a=0，
∴a=-1；…（8分）
∴f（x）=sinx-cosx=

1

5

，
∴(sinx?cosx)2＝

1

25

，
∴sinx?cosx＝

12

25

，
即（cosx+

1

5

）cosx=

12

25

； 
整理得，25cos²x+5cosx-12=0，
解得，cosx=

3

5

，或cosx=-

4

5

；
当cosx=

3

5

时，sinx=

4

5

，
当cosx=-

4

5

时，sinx=-

3

5

；
又∵x∈（0，π）∴取

cosx＝ 3 5 sinx＝ 4 5

；
∴tanx=

4

3

．…（14分）