Question

已知椭圆P的焦点坐标为0，±1，长轴等于焦距的2倍．（1）求椭圆P的方程；（2）矩形ABCD的边AB在y轴上，点

已知椭圆P的焦点坐标为0，±1，长轴等于焦距的2倍．（1）求椭圆P的方程；（2）矩形ABCD的边AB在y轴上，点C、D落在椭圆P上，求矩形绕y轴旋转一周后所得圆柱体侧面积的最大值．

Answer 1

（1）由题意，得c=1且2a=2×2c，所以a=2，b²=a²-c²=3
∴椭圆P的方程为

x2

3

+

y2

4

＝1…（4分）
（2）矩形绕y轴旋转一周后所得圆柱体侧面积为S_侧=2π?|BC|?|AB|=4π|xy|…（7分）
设D

x，y

，由点D在椭圆上，得1＝

x2

3

+

y2

4

≥2

x2 3 ? y2 4

＝

|xy|

3

，得|xy|≤

3

，
当

x2

3

＝

y2

4

＝

1

2

，即|x|＝

6

2

，|y|＝

2

时取等号．…（12分）
∴S_侧=4π|xy|≤4

3

π，当|x|＝

6

2

，|y|＝

2

时，侧面积的最大值为4

3

π．…（14分）