Question

（12分）如图所示，在△ ABC 中，分别以 AB 、 AC 、 B C为边在 BC 的同侧作等边△ ABD ，等边△ ACE ，

（12分）如图所示，在△ ABC 中，分别以 AB 、 AC 、 B C为边在 BC 的同侧作等边△ ABD ，等边△ ACE ，等边△ BCF 。 （1）求证：四边形 DAEF 平行四边形；（2）（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需要证明）①当∠ A = 时，四边形 DAEF 是矩形；②当△ ABC 满足 条件时，四边形 DAEF 是菱形；③当△ ABC 满足 条件时；以 D 、 A 、 E 、 F 为顶点的四边形不存在

Answer 1

（1）DAEF为平行四边形。（2）∠A=150°；AB=AC时；∠A=60°时。

试题分析： （1）如图:三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等边三角形 ∵∠DBF=60°，∠FBA=∠ABC 而DB=AB, BF=BC △DBF≌△ABC ∴DF=AC=AE 同理可证:DA=FE 所以:DAEF为平行四边形 （2）①如果∠DAE=90°,则DAEF为矩形 则必须∠BAC=360°-2×60°-90°=150° (另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中, ∠DAE=2×60°+∠BAC>90°,DAEF不可能为矩形,而BC为短边, ∠BAC<90°) ②如果:DA=AE,则:DAEF为菱形 则必须:AB=AC ③如果: ∠BAC=60° 则: ∠DAE=3×60°=180° D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在 点评：此种试题，比较难，过程繁琐，需要结合学过的四边形的判定和性质以及相关的证明方法，考查学生对几何证明题的综合应用。