Question

（2014?江西）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行

（2014?江西）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2-|MN1|2为定值，并求此定值．

Answer 1

（1）证明：依题意，可设AB的方程为y=kx+2，代入x²=4y，得x²=4（kx+2），即x²-4kx-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有：x₁x₂=-8，
直线AO的方程为y=

y1

x1

x；BD的方程为x=x₂．
解得交点D的坐标为

x＝x2 y＝ y1x2 x1

．
注意到x₁x₂=-8及x12=4y₁，则有y=

y1x1x2

x12

=

?8y1

4y1

=-2，
因此D点在定直线y=-2（x≠0）上．
（2）证明：依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入x²=4y得x²=4（ax+b），即x²-4ax-4b=0，
由△=0得（4a）²+16b=0，化简整理得b=-a²．
故切线l的方程可写成y=ax-a²．
分别令y=2、y=-2得N₁、N₂的坐标为N₁（

2

a

+a，2）、N₂（-

2

a

+a，-2），
则|MN₂|²-|MN₁|²=(

2

a

?a)2+4²-(

2

a

+a)2=8，
即|MN₂|²-|MN₁|²为定值8．