Question

如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE（1）求证：AE∥平面BFD；

如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求二面角D-BE-C的大小；（3）求三棱锥C-BGF的体积．

Answer 1

（1）由题意可得G是AC的中点，连接FG
∵BF⊥平面ACE，CE?平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，
∴F是EC的中点
在△AEC中，FG∥AE，而FG?平面BFD，AE?平面BFD
∴AE∥平面BFD
（2）由BF⊥面ACE得BF⊥AE，且BC⊥面ABE，
则AE⊥BE，∴DE⊥BE，又BC⊥BE，故BC，DE所成角为二面D-BE-C的平面角，
而AD，DE所成角为BC，DE的所成角，易得∠ADE＝

π

4

，
故二面角D-BE-C的大小为

π

4

（3）∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥BE，AE⊥BF，BE∩BF=B
∴AE⊥平面BCE，即FG⊥平面BCF
则FG为三棱锥G-BCF的高，GF=1
在直角三角形BCE中，BF=

1

2

CE=CF=

2

∴S_△BCF=

1

2

2

×

2

=1
∴V_C-BGF=V_G-BCF=

1

3

×S_△BCF×FG=

1

3

（注：用向量法参照给分）