若函数f(x)是区间i上一一对应的连续函数,证明其是区间i上的严格单调函数
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若否,不妨设在[x1,x2]不严格单调，其中f(x1)<f(x2)
1）存在x0,x1<x0<x2,使f(x0)>=f(x2)
若f(x0)=f(x2)
与一一对应矛盾
若f(x0)>f(x2)
因为在[x1,x0]连续，存在x1<x'<x0即x'!=x2
f(x')=f(x2)
与一一对应矛盾
2）存在x0,x1<x0<x2,使f(x0)<=f(x1)
同理可证，与一一对应矛盾
综上所述，假设不成立
所以函数f(x)为区间i上的严格单调函数
1）存在x0,x1<x0<x2,使f(x0)>=f(x2)
若f(x0)=f(x2)
与一一对应矛盾
若f(x0)>f(x2)
因为在[x1,x0]连续，存在x1<x'<x0即x'!=x2
f(x')=f(x2)
与一一对应矛盾
2）存在x0,x1<x0<x2,使f(x0)<=f(x1)
同理可证，与一一对应矛盾
综上所述，假设不成立
所以函数f(x)为区间i上的严格单调函数
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