Question

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。解答下列问题： （1）如果AB=AC，∠BAC=90°。①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为______，数量关系为______ ；②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由；（画图不写作法）（3）若AC= ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

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Answer 1

解：（1）①垂直；相等；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得，AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD，
∵∠BAC=90°， AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90°，即 CF⊥BD。
（2） 画图正确，　　　　　　　
当∠ BCA=45o 时， CF ⊥ BD （如图丁），
理由是：过点 A 作 AG ⊥ AC 交 BC 于点 G ，∴ AC=AG，
可证 ：△ GAD ≌△ CAF，
∴∠ ACF= ∠ AGD=45o  ， ∠ BCF= ∠ ACB+ ∠ ACF= 90o，
即 CF ⊥ BD。
（3） 当具备∠ BCA=45o 时，
过点 A 作 AQ ⊥ BC 交 BC 的延长线于点 Q ，（如图戊）
∵ DE 与 CF 交于点 P 时， ∴此时点 D 位于线段 CQ 上，
∵∠ BCA=45o ， 可求出 AQ=CQ=4，
设 CD=x ，
∴ DQ=4-x ，
容易说明 △ AQD ∽△ DCP ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 0 ＜ x ≤ 3，
∴当 x=2 时， CP 有最大值 1。