Question

判断并证明 y=x/1+x 的单调性

老师说是要提出一个常数，我提了，变成了 1+1/1+x 但是 x不是不等于-1么，那样定义域就不关于原点对称了啊，因为能取到1取不到-1，那怎么解？谢谢啦

Answer 1

分段单调递增的 这个函数不是连续函数，它分别在区间(-inf,-1)和(-1,+inf)上递增 

这是函数的图像

Answer 2

这是对钩函数。 在[1，正无穷）单调增， （0，1）单调减
（负无穷，-1]单调增，（-1，0）单调减。
具体证明 第一种，画图
第二种，用基本不等式证明（此方法注意，定义域在（0，正无穷））
第三种，设x1和x2， 然后算y1-y2。若x1＜x2,y1-y2<0,则单调增。以此类推。

Answer 3

y=x/(1+x)=(x+1-1)/(1+x)=1-1/(1+x)，
根据y=1/x这个函数的单调性，再结合图像的平移可知，该函数在
(-∞，-1)，(-1,+∞)上单调递增
函数的单调性应该和定义域是否关于原点对称无关吧。

Answer 4

y=x/(1+x)=1/[(1/x)+1]
设t=1/x则t是在(-∞，0)∪(0,+∞)单调递减
∴y=x/(1+x)=1/[(1/x)+1]在(-∞，0)∪(0,+∞)单调递增

Answer 5

分两段讨论：x>-1是递减的，x<-1也是递减的
但是在整个定义域上，不是单调的。