Question

离散数学 证明题：证明，如果g○f是双射的，则f是入射的和g是满射的。求助～～

Answer 1

用反证法。
设g○f是集合A到A上的双射
假设g不是满射，则R(g○f)⊆R(g)⊂A，即R(g○f)⊂A，从而g○f不可能是满射，从而不可能是双射，与题意矛盾，因此假设不成立，g是满射。

假设f不是入射，则∃a,b∈A，且a≠b，有f(a)=f(b)
则(g○f)(a)=g(f(a))=g(f(b))=(g○f)(b)，即g○f也不是入射，从而g○f不可能是双射，与题意矛盾，因此假设不成立，f是入射。

追问

为什么一旦(g○f)(a)=g(f(a))=g(f(b))=(g○f)(b)，则g○f就不是入射的呢？

追答

因为a≠b，但函数值相同，说明不是单射（即入射）