Question

数列﹛an﹜是首项为1000，公比为1／10的等比数列，数列﹛bn﹜满足bk＝1／k﹙lga1＋lga2＋…＋lgak﹚k∈N*

(1)求数列﹛bn﹜的前n项和的最大值 (2)求数列﹛|bn|﹜的前n项和S’

Answer 1

an=a1q^(n-1)=1000×(1/10)^(n-1)=1/10^(n-4)
bk=(1/k)(lga1+lga2+...+lgak)
=(1/k)lg(a1×a2×...×ak)
=(1/k)lg[(1/10)^(1+2+...+k-4k)]
=-(1/k)lg[10^(k(k+1)/2-4k)]
=-(1/k)[k(k+1)/2 -4k]
=(7-k)/2
Sn=b1+b2+...+bn=(7/2)n -(1+2+...+n)/2
=(7/2)n-n(n+1)/4
=(-n²+13n)/4
=-(n-13/2)²/4 +169/16
当n=6、n=7时，-(n-13/2)²/4有最小值-1/16，此时Sn有最大值(Sn)max=21/2
2.
令bn≥0
(7-n)/2≥0
n≤7，即数列前7项均非负，从第8项开始，以后每一项均<0。
n≤7时，Sn'=|b1|+|b2|+...+|bn|=b1+b2+...+bn=(7/2)n-(1+2+...+n)/2=(13n-n²)/4
n≥8时，Sn'=|b1|+|b2|+...+|bn|=b1+b2+...+b7-b8-...-bn
=-(b1+b2+...+bn)+2(b1+b2+...+b7)
=(n²-13n)/4 +2×(21/2) (这一步用到了前面的计算结果)
=n²/4 -13n/4 +21