Question

求I=∮L(y^2+z^2)dx+(z^2+x^2)dy+(x^2+y^2)dz,其中L是球面x^2+y^2+z^2=2bx与柱面x^2+y^2=2ax(b>a>0)的交线

(z≧0),L的方向规定为沿L的方向运动时，从z轴正向往下看，曲线L所围球面部分总在左边

Answer 1

将L用参数表示出来。设

x=a+a*cos t
y=a*sin t

则可解得

z=2*sqrt(a*(b-a))*cos(t/2)

全部代入，转化为关于t的积分，积分限是0到2pi。剩下的计算细节就留给你自己了

追问

能写一下剩下的具体过程吗？好麻烦。。。有没有别的方法啊？我是用dydz=cosadS，dxdz=dScosb,dxdy=cosC做的，最后化成2∫∫S（z-y）dS然后就不会了。。。

追答

要求的不是曲线积分吗？为什么非要套格林公式呢？

追问

好吧。。。可是用您的方法会算死啊。。。

追答

不会啊，关键在于积分限是从0到2pi，所以乘开来以后，dx和dy部分展开所得的多数项的积分都是0，只有(cos t)^2不是，而dz部分实际上是关于cos(t/2)的二次多项式的积分，算起来很容易。你再试试

追问

还是没算出来啊，可不可以麻烦您吧计算过程拍下来传一下啊？

追答

我们把三个积分分别列一下（用I代替积分号）：

I(y^2+z^2) dx
= I(a^2*sin^2 t + 4*a(b-a)*cos^2 (t/2))*(-a*sin t) dt
= I-(a^3*sin^3 t + 2*a^2*(b-a)*(sin t*cos t + sin t))dt
= 0；

I(z^2+x^2) dy
= I(4*a(b-a)*cos^2 (t/2) + a^2*(1 + 2 cos t + cos^2 t))*(a*cos t) dt
= I(2ab*cos t + 2ab-a^2 + a^2*cos^2 t)*(a*cos t) dt
= I2a^2*b*cos^2 t dt
= a^2*b*2pi；

I(x^2+y^2) dz
= Ia^2*(2+2cos t)*2*sqrt(a(b-a)) d(cos(t/2))
= 8a^2*sqrt(a(b-a))*I(cos^2 (t/2)) d(cos(t/2))
= 0

以上多次利用了余弦的倍角公式

（是我搞错了，第三个积分当t从0变到2pi时，cos(t/2)从1变到1，所以积分是0）

追问

第三个积分当t从0变到2pi时，∫(cos^2 (t/2)) d(cos(t/2))=1/3cos^3(t/2) =-2/3
cos(t/2)从1变到-1啊...

追答

被忽悠了……你说得对，应该是答案错了