Question

已知y=f(x+1)的是定义域为R的偶函数，且在[1，+∞）上为单调递增，则不等式f(2x-1)＜f(x+2)的解集

Answer 1

∵y=f(x+1)的是定义域为R的偶函数
∴y=f(x+1)图像关于y轴对称
∵将y=f(x)向左平移1个单位，得到y=f(x+1)图像
∴f(x)图像关于x=1对称

下面的 你没说清楚谁在[1，+∞）上为单调递增
要想将题目做出，应该是f(x)在[1，+∞）上为单调递增
∴f(x)在(-∞,1]上单调递减
∴f(2x-1)＜f(x+2)
等价于
|2x-1-1|<|x+2-1| （距对称轴仅的自变量y值越小）
∴|2x-2|<|x+1|
∴4(x²-2x+1)<x²+2x+1
∴3x²-10x+3<0
∴1/3<x<3
∴f(2x-1)＜f(x+2)的解集是(1/3,3)

追问

请问为什么
∴f(2x-1)＜f(x+2)
等价于
|2x-1-1|<|x+2-1|

追答

f(x)关于x=1对称，[1，+∞）上为单调递增
在(-∞,1]上单调递减，图象就想象成开口朝上
的抛物线

距对称轴x=1约近的自变量y值越小
∵f(2x-1)＜f(x+2)
∴2x-1到x=1的距离小于x+2到x=1的距离
而2x-1到x=1的距离是|2x-1-1|
x+2到x=1的距离是|x+2-1|
∴|2x-1-1|<|x+2-1|

追问

昂、这样哦~谢谢哈、

追答

你明白就好

Answer 2

已知y=f(x+1)的是定义域为R的偶函数，偶函数图像关于y轴对称
f(x+1)由f(x)向左平移1个单位得到
所以f(x)图像关于x=1对称
且f(x)在[1，+∞）上为单调递增，则f(x)在（-无穷，1】上是增函数
即离x=1距离越近，函数值越大
f(2x-1)＜f(x+2)
所以
|2x-1-1|>|x+2-1|
|2x-2|>|x+1|
4x^2-8x+4>x^2+2x+1
3x^2-10x+3>0
(3x-1)(x-3)>0
所以x<1/3或x>3