Question

定义在R上的函数f（x）满足：f(x)=f(4-x)且f（2-x）+f(x-2)=0,则f(2008)=?

Answer 1

f(2-t)+f(t-2)=0中，令t=x-2
则f(2-(x-2))+f(x-2-2)=0
即f(4-x)+f(x-4)=0
由于f(x)=f(4-x)
则f(x)+f(x-4)=0
所以f(x)=-f(x-4)=-[-f(x-4-4)]=f(x-8)
所以f(2008)=f(2000)=f(1992)=...=f(0)
这是因为2008能够被8整除。

在f(2-x)+f(x-2)=0中，令x=2,
2f(0)=0,f(0)=0
所以f(2008)=0

Answer 2

f(x)关于x=2对称.
取x=2,得f(0)+f(0)=0 所以f(0)=0;取x=4,得f(4)=f(4-4)=0
取x=-2,得f(4)+f(-4)=0 所以f(-4)=0 则f(8)=0 f(-8)=0 f(12)=0
总结f(0)=0 f(4)=0 f(8)=0 f(12)=0 可知f(4k)=0 k属于z
证明:f(4k)=f(4-4(k-1))=f(4(k-1))即f(4k)=f(4(k-1))----递推公式
又k取0f(0)=0 且2008=4*502,所以f(2008)=0

之上所说的是一种思路,写大题只须写证明部分,作小题用特殊植法代可速得答案.

Answer 3

2楼方法是对的
不过如果这是填空或者选择题 我可以直接告诉你选0
不要犹豫 因为象这种题目里面除了0外没有别的常数
而且象这种函数 一看就知道是要你把F（2008）化简成F（0）或者F（2）或者F（4）之类的数值小的函数 再求出答案 这一题 一看就可以发现 不管化简成多少 函数值 除了0以外没有别的可能了 所以要是填空或者选择 直接写0 节约时间 如果是计算 就按2楼的方法吧

Answer 4

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