Question

高一数学~~~~~~~谢谢

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域内存在X0，使得f(X0+1)=f(X0)+f(1)成立。
（1）函数f(x)=1/x是否属于集合M？说明理由
（2）设函数f(x)=lg(a/(x^2+1))∈M，求a的取值范围
（3)设函数y=2^x图像与函数y=-x的图像有交点，证明：函数f(x)=2^x+x^2∈M

谢谢 o(∩_∩)o...

Answer 1

存在f(X0+1)=f(X0)+f(1)
假设存在
f(x0+1)=f(X0)+f(1)
1/(x0+1)=1/x0+1
x0^2+x0+1=0
抛物线没有根
不属于M

f(x)=lg(a/(x^2+1))∈M
f(x0+1)=f(X0)+f(1)
lg(a/[(x0+1)^2+1])=lg(a/(x0^2+1))+lg(a/2)
a/(x0^2+1)=a^2/2[(x0+1)^2+1]
解出a在[(5-根号17)/2,(5+根号17)/2]

y=2^x y=-x有交点
f(x)=2^x+x^2∈M
f(X0+1)=f(X0)+f(1)
2^(x0+1)+(x0+1)^2=2^x0+x0^2+3
2^x0+2x0-2=0
2^x0=1-x0
y=2^x y=-x有交点
那么y=2^x与y=1-x0也有交点
那么2^x0=1-x0 存在
f(x)=2^x+x^2∈M

Answer 2

解：
(1)令
1/(x+1)=1/x+1
x=x+1+x(x+1)
x^2+x+1=0
该方程无解
所以函数f(x)=1/x不属于集合M
(2)首先：a>0
f(x)=lg[a/(x^2+1)]
令：
f(x+1)=f(x)+f(1)，如下：
lg[a/(x^2＋2x+2)]=lg[a/(x^2+1)]+lg(a/2)
=lg[a^2/(2x^2+2)]
即：
a/(x^2+2x+2)=a^2/(2x^2+2)
化简到：
(a-2)x^2+2ax+2(a-1)=0
根据题意，该方程有解，所以：
1' 当a=2时，成立
2'当2!=2时（！＝即不等于）,
b^2-4ac>=0
4a^2-8(a-1)(a-2)>=0
解得：
3-根号5<=a<=3＋根号5，该区间包含2，又a>0
综上所述
a的取值范围是
3-根号5<=a<=3＋根号5
(3)
令：
f(x+1)=f(x)+f(1)，如下：
2^(x+1)+(x+1)^2=2^x+x^2+3
化简得：
2^x+2x-2=0
由“函数y=2^x图像与函数y=-x的图像有交点”可得
2^x+x＝0有解
两边同时乘以2
2^(x+1)+2x=0有解
2^(x+1)+2x＋2－2=0有解
2^(x+1)+2(x+1)－2=0有解
令t=(x+1)
则2^t+2t－2=0有解
即2^x+2x-2=0有解
所以
函数f(x)=2^x+x^2∈M
得证

Answer 3

这种题目主要是对题目定义的理解。理解了你就可以继续。

这个题目，判断一个函数是否属于M,就是看f(X+1)=f(X)+f(1)这个方程是否有解。有就属于，没有 就不 属于 。

1.1/（x+1)=1/x + 1 ,解这方程（好像是无解的，所以不属于）

2.lg{a/[(x+1)^2+1}=lg(a/(x^2+1))+lg(a/2)
这个麻烦点，化简去分母，最后得到2次方程，有根a的范围应该会了吧？还有就是别忘了函数的定义域，a>0

3.f(X+1)=f(X)+f(1) 整理化简，可以得到 2^x=-2x+2, 容易判断是有解的，但不知道题设的条件有什么用，有交点，一画图就能看出来。