Question

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下

16. 阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC,连接 ,当点A落在 上时,此题可解（如图2）．
请你回答：AP的最大值是 ．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

Answer 1

解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，
∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C
∴△A′BA是等边三角形，
∴A′A=AB=BA′=2，
在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，
则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；
故答案是：6．

（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．
以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，
∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．
∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，
∴A'C=PA+PB+PC，
∴A'C长度即为所求．
过A'作A'D⊥CB延长线于D．
∵∠A'BA=60°（由旋转可知），
∴∠1=30°．
∵A'B=4，
∴A'D=2，BD=23，
∴CD=4+23．
在Rt△A'DC中A'C=A′D2+DC2=22+(4+2
3)2=32+16
3=22+26；
∴AP+BP+CP的最小值是：22+26（或不化简为32+16
3）．
故答案是：22+26（或不化简为32+16
3）．

第二问有些根号没打出来，自己想想吧

Answer 2

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/4760dbcb-e703-414b-b2e5-0c039c3cb79b戳进去看看