Question

在三棱锥S-ABC中，三角形△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2根2，M为AB中点

（1）求二面角S-CM-A的大小；（2）求点B到面SCM的距离

Answer 1

取AC中点N，连结SN、MN，

∵SA=SC=2√2，

∴△SAC是等腰△，

∴SN⊥AC，

∵平面ASC⊥平面ABC，

∴SN⊥平面ABC，

∴△MNC是△SMC在平面ABC上的投影，

设二面角S-CM-A的平面角为θ，

则S△MNC=S△SMC*cosθ，（1）

也可以从N作NE⊥MC，连结SE，

则〈NES为二面角S-MC-A的平面角的平面角，

S△MNC=S△ABC/4=(√3*4^2/4)/4=√3，

SA^2+SC^2=16,

AC^2=16,

根据勾股定理逆定理，

∴△SAC是等腰RT△，

∴SN=AC/2=2，

SN⊥MN，

MN=BC/2=2，（正△的中位线）

根据根据勾股定理，在△SMN中，

SM=2√2，，

∴△SMC是等腰△，

作SH⊥MC，

根据勾股定理，

SH=√（SM^2-MH^2)=√5，

S△SMC=SH*MC/2=√5*2√3/2=√15，

根据前面（1）式，

√15* cosθ=√3，

∴cosθ=√5/5，

θ=arccos(√5/5），

∴二面角S-CM-A的大小为arccos(√5/5）。

2、VS-ABC=S△ABC*SN/3=(√3*4^2/4)*2/3=8√3/3，

∵三棱锥S-AMC和三棱锥S-BCM共用高SN，且底面积相等，

∴VS-BCM=VS-ABC/2=4√3/3，

设B至平面SMC距离为d,

则VB-SMC=S△SMC*d/3=√15d/3,

VS-BCM=VB-SMC,

4√3/3=√15d/3,

∴d=4√5/5，

∴点B到面SCM的距离为4√5/5。 

Answer 2

解：过S作SD⊥AC于D，易知SD=2
因为两面垂直，故SD垂直于ABC
再过D作DE垂直MC
由题意得MC垂直AB，而DE又垂直MC,D还是中点
所以DE是AMC中位线，=1
tanS-CM-A=2/1=2

(2)求BSCM体积,再求SCM面积，就可求距离，我就不细说了