Question

已知函数f(x)=x^3-3x^2+1, g(x)=1.x+1/4x(x大于0）2.-x^2-6x-8(x小于等于0） 则方程g(f(x))-a=0

（a为正实数)的根的个数不可能为A .3 B.4 C .5 D.6
g(x)=1.x+1/4x(x大于0）2.-x^2-6x-8的意思是g(x)为分段函数

Answer 1

g(x)=1.x+1/4x 表示（x+1)/(4x) ,x+ 1/(4x) ??

感觉是后者吧；
这种题型主要用数形结合来做。
先根据f(x)的的一二阶导数，画出它的大概图像，
当x>0时g(x)>1
当x<0时，g(x)<1
可以分析，就可以得到结果

追问

x 大于0 时 g(x)=x+1/4x
x小于0时 g(x)=-x^2-6x-8

追答

选A

 

 

 

a>1时，观察g(x)的图像，可知f(x)在(0,1),（1，+∞）各有一种情况符合条件

        而观察f(x)的图像可知，当值域为(0,1)时，它有3个根，当值域是（1，+∞），它有一个根。 从而此时 方程有4个解，B成立

当a=1时，观察g(x)的图像，可知f(x)=1/2,或 -3

         而观察f(x)的图像可知,当f(x)=1/2时，有3个根，当f(x)=1时，有2个根。所以方程共有5个解，C成立

当0<a<1时，观察g(x)的图像，可知f(x)在(-4,-3),(-3,-2)各有一种情况符合条件

          而观察f(x)的图像可知，当f(x)的值域为（0，-4）时，会有3个根，因此此时解得个数=3*2=6  D成立