Question

f(x)=ln(x+1)-x,求证：当x>-1时，1- 1/(x+1) <= ln(x+1) <= x

高中数学，导数方面的问题

Answer 1

证明：（1）f'(x)=1/(x+1)-1=-x/(x+1)，x＞-1
当x∈(-1,0)时f'(x)＞0，x∈(0,+∞)时f'(x)＜0，
∴f(x)先递增后递减，在x=0处取极大值和最大值f(0)=0
即f(x)≤0，ln(x+1)-x≤0，ln(x+1)≤x……………………①
（2）令F(x)=1- 1/(x+1) - ln(x+1)，则
F'(x)=-x/(x+1)²，与f'(x)情况相同（内容自己写吧）
F(x)≤F(0)=0，所以1- 1/(x+1)≤ ln(x+1) ………………②
综合①②，得
1- 1/(x+1) ≤ ln(x+1) ≤x

Answer 2

f(x)=ln(x+1)-x;
f'x)=1/(x+1)-1=-x/(x+1);
当-1<x<0时；f(x)单调递增；
当x>0时；f(x)单调递减；
当x=0时；f(x)取到最大值max=f(0)=0;
所以f(x)<=0;
ln(X+1)<=x;
设F(x)=ln(x+1)+1/(x+1)-1；
F'(x)=1/(x+1)-1/(x+1)^2=x/(x+1)^2;
当-1<x<0时；F(x)单调递减；
当x>0时，F(x)单调递增；
当x=0时；F(x)取到最小值min=f(0)=0
所以F(x)>=0;
即ln(x+1)>=1-1(x+1);
所以当x>-1时；1-1/(x+1)<=ln(x+1)<=x;

Answer 3

求证：x＞1时，x＞ln（x+1）