Question

对勾函数f(x)=x+1/x（0, +∝) 在(0, 1)上递减。在[1, +∝)上递增。这是怎么推的？

别说这就是结论，我要的是推导过程。

Answer 1

这个有很多种方法，最基本的是定义法，就是取0<x1<x2<1,f(x1)-f(x2)=x1-x2+x2-x1/x1x2=(x1-x2)(x1x2-1）/x1x2 0<x1<x2<1,x1x2-1<0 x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2）>0,也就是说f(x)=x+1/x（0, +∝) 在(0, 1)上递减， 再取两个数1<x1<x2, x1x2.-1>0,x1-x2<0 f(x1)-f(x2)<0
在[1, +∝)上递增, 上面我写错了，应该是f(x2)-f(x1)，失误， 我就想提醒你，定义才是王道，也有的题用-比较麻烦，等你可以确定，两者同号，也可以用f(x2)/f(x1)与1的关系，来判断他们的大小关系

Answer 2

(1)证明在(0, 1)上递减。

设0<x1<x2<1、则0<x1x2<1、1/(x1x2)>1、1-1/(x1x2)<0

f(x1)-f(x2)

=x1+1/x1-x2-1/x2

=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)

=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)

=(x1-x2)[1-1/(x1x2)]

>0

所以，f(x1)>f(x2)，即f(x)在区间(0, 1)上递减。

(2)证明在[1, +∝)上递增。

设1<=x3<x4、则x3x4>1、0<1/(x3x4)<1、1-1/(x3x4)>0

f(x3)-f(x4)

=x3+1/x3-x4-1/x4

=(x3-x4)+(1/x3-1/x4)

=(x3-x4)+(x4-x3)/(x3x4)

=(x3-x4)[1-1/(x3x4)]

<0

所以，f(x3)<f(x4)，即f(x)在区间在[1, +∝)上递增。

.

Answer 3

求导f'(x)=1-1/x^2 (0,+∝)
令1-1/x^2=0，得x=+1或-1（舍去）[f(x)=x+1/x（0,+∝）]
当x在[1, +∝)上时，导数f'(x)=1-1/x^2 >=0,所以函数递增，
当x在[0,1）上时，导数f'(x)=1-1/x^2 <=0,所以函数递减。

Answer 4

f'(x)=1-1/x^2=(x-1)(x+1)/x^2
f'(x)>0 (x-1)(x+1)>0
所以f(x)在（-无穷，-1）（1，+无穷）上是增函数
f'(x)<0 (x-1)(x+1)<0 -1<x<1且x≠0
所以
所以f(x)在（-1，0）（0，1）上是减函数

Answer 5

f(x)=x+1/x （x>0）
f'(x)=1-1/x²=(x+1)(x-1)/x²>0
x>1
即[1, +∝)上递增
f'(x)<0
x∈(0,1)
即
此时递减。