Question

直线与抛物线y方=2px(p＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，OD⊥AB，垂足是D（2,-1），求抛物线方程

Answer 1

设A(a²/(2p), a), B(b²/(2p), b)

OD的斜率为-1/2, AB的斜率= 2 = (b-a)/[b²/(2p) - a²/(2p)] = 2p/(a+b)

a + b = p    (1)

AB的方程： y + 1 = 2(x-2), y = 2x-5   

OA的斜率m = a/[a²/(2p)] = 2p/a

OB的谢谢n = b/[b²/(2p)] = 2p/b

二者垂直，mn = 4p²/(ab) = -1

ab = -4p²     (2)

将A, B的坐标代入AB的方程：

a = a²/p -5   (3)

b = b²/p -5    (4)

(3)+(4): a + b = (a²+b²)/p -10 = [(a+b)²-2ab]/p -10

代入（1）（2）： p = 5/4 (舍去p = 0)

y² = 5x/2