Question

对定义在[0,1]上,并且同时满足一下两个条件的函数f(x)称为G函数,对任意的x∈[0,1]

对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。
①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0 ②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立。已知函数g(x)=x^2与h(x)=2的x次方-b是定义在[0,1]上的函数。若函数h(x)是G函数，求实数b组成的集合

Answer 1

h(x)=2^x-b
①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0
由指数函数的性质，易知h(x)为增函数，故minh(x)=h(0)=1-b≥0,则b≤1
②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立
2^(x1+x2)-b≥2^x1-b+2^x2-b
整理有b≥2^x1+2^x2-2^(x1+x2)
另g(x1,x2)=2^x1+2^x2-2^(x1+x2)
则有əg/əx1=ln2*2^x1(1-2^x2)≤0（求偏导数）
əg/əx2=ln2*2^x2(1-2^x1)≤0
则maxg(x1,x2)=g(0,0)=1
故b≥1
综合①②，b=1

Answer 2

对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。
①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0
②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立。
已知函数g(x)=x^2与h(x)=x^x-b是函数。
（1）试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h(x)是G函数，求实数b组成的集合
解：
（1）
g(x)=x²≥0,对于所有x∈R成立,[0,1]包含于R，
所以g(x)满足条件①；
当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，
g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=(x1+x2)²-[x1²+x2²]=2x1x2≥0,
所以g(x1+x2)≥[g(x1)+g(x2)]，
所以g(x)满足条件②；
所以函数g(x)是G函数.

（2）
h(x)=x^x-b是定义在[0,1]上的G函数，
所以x^x-b≥0（x∈[0,1]）,
即 b≤x^x≤1；
当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，
h(x1+x2)≥h(x1)+h(x2)，
即 (x1+x2)^(x1+x2)-b≥[x1^x1-b]+[x2^x2-b],
亦即 b≥[x1^x1+x2^x2]-(x1+x2)^(x1+x2)，
因为(x1+x2)^(x1+x2)≤1，
所以b≥[x1^x1+x2^x2]-1，
而x1^x1＞0,x2^x2＞0,
所以b＞-1,
所以b∈(-1,1].

从别的地方看回来的，题目大致相同，只是2^x-b变成x^x-b,换汤不换药
思路可以参考,但是我觉得他的回答有点不对

Answer 3

不知道