Question

已知集合A=﹛x||x-1|＜2﹜,B=﹛x|(x+2)/(x^2-3x+2≥1﹜,C=﹛x|2x^2+mx-1＜0﹜,

已知集合A=﹛x||x-1|＜2﹜,B=﹛x|(x+2)/(x^2-3x+2≥1﹜,C=﹛x|2x^2+mx-1＜0﹜,若C包含于A∪B,求m的取值范围？

Answer 1

A=｛x |-2<x-1<2｝
=｛x | -1<x<3｝，
B=｛x | (x+2-x^2+3x-2)/(x^2-3x+2)>=0｝
=｛x | (-x^2+4x)/(x^2-3x+2)>=0｝
=｛x | -[x(x-4)] / [(x-1)(x-2)] >=0 ｝
=｛x | 0<=x<1 或 2<x<=4 ｝
所以，A∪B=｛x | -1<x<=4 ｝。

令 f(x)=2x^2+mx-1 ，则抛物线开口向上，对称轴 x= -m/4 。
因为 C 包含于 A∪B ，且判别式=m^2+8>0 ，所以，
1）对称轴介于 -1、4之间：-1<-m/4<4 ；
2）f(x) 在端点 -1 、4 处的值为非负：f(-1)=2-m-1>=0 ，且 f(4)=32+4m-1>=0 ；
解得 -31/4<=m<=1 。

Answer 2

A={x||x-1|<2}={x|-2<x-1<2}={x|-1<x<3}
B={x|(x+2)/(x²-3x+2)≥1}={x|(x²-4x)/(x²-3x+2)≤0}={x|x(x-4)/(x-1)(x-2)≤0}={x|0≤x<1，或2<x≤4}
那么A∪B={x|-1<x≤4}
C={x|2x²+mx-1<0}，包含于A∪B
因为Δ=m²+8>0，那么C≠∅。
令f(x)=2x²+mx-1，f(-1)=1-m，f(4)=31+4m，对称轴x=-m/4
那么就要求：f(-1)=1-m≥0，且f(4)=31+4m≥0，且-1≤-m/4≤4
于是解得：-31/4≤m≤1，即m的取值范围为：[-31/4，1]