Question

一道函数连续性的证明题

若f(x)在x=0处连续，且f(x+y)=f(x)+f(y)，对任意x,y∈（-无穷，+无穷）都成立，试证明f(x)为（-无穷，+无穷）上的连续函数

Answer 1

当x=0时，f(y)=f(0)+f(y)
则f(0)=0
由于f(x)在x=0处连续，则有f(x)->0(x-->0)
对任意有
f(x+Δx)-f(x)=f(Δx)-->0 当Δx-->0
所以得证f(x)的连续性

Answer 2

首先f(0)=0,再则,任意x和增量Δx,f(x+Δx)-f(x)=f(Δx)趋于0,严格证明很容易就写出来了.