Question

设二维随机变量(X,Y)在x轴,y轴及直线x+y-2=0所围成的区域D上服从均匀分布

设二维随机变量(X,Y)在x轴,y轴及直线x+y-2=0所围成的区域D上服从均匀分布,求X,Y的相关系数，求过程，谢谢

Answer 1

其详细过程是，①先求出(x,y)的密度函数f(x,y)。∵x轴,y轴及直线x+y-2=0所围成的区域D的面积SD=2。D={(x,y)丨0<x<2，0<y<2-x}。
∴按照二维均匀分布的定义，有f(x,y)=1/SD=1/2，(x,y)∈D、f(x,y)=0，(x,y)∉D。
②求出XY的边缘分布密度函数。按照定义，X的边缘分布密度函数fX(x)=∫(-∞,∞)f(x,y)dy=1-x/2,0<x<2。同理，Y的边缘分布密度函数fY(y)=∫(-∞,∞)f(x,y)dx=1-y/2,0<y<2。
③求特征值E(X)、D(X)、E(Y)、D(Y)和Cov(X,Y)。E(X)=∫(0,2)xfX(x)dx=2/3，E(X²)=∫(0,2)x²fX(x)dx=2/3，∴D(X)=E(X²)-[E(X)]²=2/9。同理，E(Y)=2/3、D(Y)=2/9。E(XY)=∫(0,2)dx∫(0,2-x)xyf(x,y)dy=1/3，∴Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1/3-(2/3)²=-1/9。
④求相关系数ρXY。ρXY=[Cov(X,Y)]/[D(X)D(Y)]^(1/2)=-1/2。
供参考。

Answer 2

f(x,y)=2 fx(x)=2(x+1),fy(y)=2(y+1) EX=∫xfx(x)dx=-1/3=EY E(XY)=∫∫2xydxdy=1/12 cov(x,y)=E[(x-Ex)*E(y-Ey)]=-1/36 E(x^2)==∫x^2fx(x)dx=1/6 DX=E(x^2)-(Ex)^2=1/6-1/9=1/18=Dy 相关系数r=cov(x,y)/(DxDy)^(1/2)=(-1/36)/(1/18)=-1/2 量子时间KAWAYI 2014-11-14