Question

已知数列{an}满足a1=1/5,且当n>1,n属于正整数时，有an不等于0，4*an*an-1=(an-1)-an

(1)求证：{1/an}是等差数列；（1）求{an}的通项公式；（3）试问a1a2是否是数列{an}中的项？若是，是第几项；若不是，请说明理由。

Answer 1

解：（1）如图

 

（2）a(n-1)/an = [2a(n-1) + 1]/（1 - 2an）
∵分母不能等于0
∴an 不等于0或1/2
a(n-1)（1 - 2an) = an×[2a(n-1) + 1]
a(n-1) - 2an×a(n-1) = 2an×a(n-1) + an
4an×a(n-1) = a(n-1) - an
4 = 1/an - 1/a(n-1)
∴{1/an}是首项为1/an = 5,公差为4的等差数列
1/an = 5 + 4(n-1) = 4n + 1
an = 1/(4n+1)， n = 1,2,...
（3）a2 = 1/(4×2+1) = 1/9
a1a2= 1/5×(1/9) = 1/45 = 1/(4*11 + 1).
∴a1a2是数列{an}中的项，为第11项