Question

求下列不定积分 ∫(arctan e^x)/(e^2x)dx

答案是：(-1/2)[e^-(2x)*arctane^x+arctane^x+e^(-x)]+C
我的解法是：原式= ∫(arctan e^x)/(e^x)d(1/e^x)
令1/e^x=t = ∫(arctan 1/t)/t dt
= (-1/2) ∫(arctan 1/t) d(t^2)
= (-1/2) [(t^2)(arctan 1/t) - ∫(t^2)d(arctan 1/t)]
= (-1/2) [(t^2)(arctan 1/t) + ∫(t^2)/(1+t^2)dt]
= (-1/2) [(t^2)(arctan 1/t) + ∫(t^2+1-1)/(1+t^2)dt
= (-1/2) {(t^2)(arctan 1/t) +∫1-[1/(1+t^2)]dt}
= (-1/2)[e^-(2x)*arctane^x-arctane^(-x)+e^(-x)]+C
不知道自己哪步算错了，和答案总是差一个数啊，是第一步换元有问题吗？求解答。。。

Answer 1

∫(arctan e^x)/(e^x)d(1/e^x)

这里你少了1个负号吧

d(1/e^x)=-1/e^x

追问

恩，把负号提到前面去了。

追答

你好，你做的没问题，刚看了第一步就没看下去
其实arctane^x+arctan^（-x）=1
所以你的-arctane^(-x)=arctane^x-1
和答案就是差一个常数1
但是不定积分常数是没关系的

Answer 2

好像没问题啊

Answer 3

我算的结果和你的一样哎