Question

定积分几何应用问题求解（谢谢）

Answer 1

分两种情况：一种是函数f'(0+)>0，函数先增后减，另外一种是函数是减函数

对于第一种情况，B在A上方，有可能形不成曲边三角形， 你可以考虑函数y=2-(x-1)^2在P=(1.5,7/4) 时的情况，此时满足题目除面积的条件外所有条件，但是不构成曲边三角形。所以题目还是有瑕疵的

我们假定曲边三角形成立的情况
对于第一种情况，BP在A上方，面积为f(x)-f(t)在0，x上对t的积分（这个画图体会一下），对于第二种情况，积分为f(t)-f(x)
情况1：
∫f(x)-f(t) dt = f(x)x - ∫f(t)dt = 2x^3/3, 两边求导得到f'(x)x +f(x)-f(x) = 2x^2, f'(x)=2x, f(x)=x^2 +C, 因为f(0)=1,所以C=1, f(x)=1+x^2显然不满足
情况2：
∫f(t)-f(x) dt = -f(x)x + ∫f(t)dt = 2x^3/3
求导得到-f'(x) x -f(x)+f(x)=2x^2, f(x)=-x^2 +C, 得到C=1
所以f(x)=1-x^2