Question

高中数学三角函数最大值简单问题

已知:0°<α<90°,0°<α+β<90°，3sinβ=sin(2α+β)，则tanβ的最大值为____

向高手请教，谢谢~

Answer 1

a和b肯定都是锐角首先

3sinβ小于等于1，所以sinb最大是1/3

此时2a+b=90度，b=arcsin1/3约为20度
此时a大于时35度，完全符合条件

所以sinb最大就是1/3,此时tan也是最大等于 根2/4

Answer 2

因为 3sinβ=sin(2α+β)≤1；
所以 3sinβ≤1；
sinβ≤1/3；
cosβ=√(1-(sinβ)^2)≧√(1-(1/3)^2)=(2√2)/3；
tanβ=sinβ/cosβ≤(1/3)/((2√2)/3)=√2/4；

Answer 3

3sin(α+β -α)=sin(α+β +α)
3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα = sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα
即 2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα
得 tan(α+β)=2tanα
从而 tanβ=tan(α+β -α)
=[tan(α+β)-tanα] / [1+tan(α+β)tanα]
=(2tanα -tanα)/(1+2tanα*tanα)
=tanα/(1+3tan²α）
≤tanα/2√3tanα
=1/2√3
=√3/6

Answer 4

求导，x=k派+派/2为极值点，max=根号2+1，min=根号2-1 2 y=sinx+√(2+(cosx)^2) =sinx+√(3-(sinx)^2) =t+√(3-t^2)……