Question

如图，△ABC是等边三角形，且∠1=∠2=∠3. （1）△DEF是等边三角形吗？为什么？

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

∵∠A=∠B=∠C=60°，∠1=∠2=∠3，

∴ΔADF∽ΔBED∽ΔCFE，

∴AD/AF=BE/BD=CF/CE，

设ΔABC的边长为a，AF=X，AD/AF=K，

则AD=KX，BD=a-KX，BE=K(a-KX)，

CE=a-K(a-KX)，CF=a-［a-K(a-KX)］=Ka-K^2X，

又AF+CF=a，∴X+Ka-K^2X=a，X(K+1)(K-1)-a(K-1)=0，

(K-1)(KX+X-a)=0

K=1或KX+X=a，

当K=1时，D、E、F为AB、DE、AC的中点，ΔDEF是等边三角形。

当KX+X=a时，

∵AF+CF=X+CF=a，∴CF=AD=KX，

从而得到 ：AD=BE=CF，∴ΔADF≌ΔBED≌ΔCFE，

∴DF=DE=EF，

∴ΔDEF是等边三角形。

追问

谢谢谢谢，真的谢谢了，好用心的~不过过程能简洁些吗，貌似看上去不太符合八上数学的水平，当然是超出了的，拜托了，能重新总结下面，貌似不用这么复杂的

追答

图形正确吧？
事实上，被 你一说，还真有简单的方法：
在ΔADF中，∠A+∠3+∠ADF=180°，
又∠2+∠EDF+∠ADF=180°，∠2=∠3，
∴∠EDF=∠A=60°，
同理：∠DEF=∠FED=60°，
∴Δ DEF是等边三角形。

追问

嗯嗯，图形很对，真的太谢谢了

追答

现在可以了？不懂可以追问。

Answer 2

∵△ABC是等边三角形，且∠1=∠2=∠3.

∴∠DEC=∠1+∠B

∠EFA=∠2+∠C
∠FDB=∠3+∠A
∴∠DEC=∠EFA=∠FDB

∴∠DEF+∠2=∠EFD+∠3=∠FDE+∠1

即：∠DEF=∠EFD=∠FDE=60º
∴△DEF是等边三角形

Answer 3

不一定